Наименьшее общее кратное двух, трех и более чисел. Найти нок трех чисел


Наименьшее общее кратное трех чисел. Как найти наименьшее общее кратное трех чисел? Найдите наименьшее общее кратное чисел 168, 231 и 60

Наименьшее общее кратное трех чисел

Как найти наименьшее общее кратное трех чисел?

Примерно так, как находят наименьшее общее кратное двух чисел.

Наименьшее общее кратное трех чисел пример.

Найдите наименьшее общее кратное чисел 168, 231 и 60

Найти нок чисел 168, 231 и 60.

Как найти наименьшее общее кратное трех чисел 168, 231 и 60?

Сначала нужно разложить эти три числа на простые множители.

Разложить на простые множители число 231:

231  3
 77  7
 11  11
  1 

Разложение на простые множители числа 231:

231 = 3 * 7 * 11

Разложить на простые множители число 168:

168  3
 56  7
  8  2
  4  2
  2  2
  1 

Разложение на простые множители числа 168:

168 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7

Разложить на простые множители число 60:

60  3
20  2
10  5
 2  2
 1 

Разложение на простые множители числа 60:

60 = 2 * 2 * 3 * 5

Теперь берем разложение на простые множители числа 231:

3 * 7 * 11

и добавляем в него множители из разложений чисел 168 и 60, но только такие множители, которых нет в разложении 231.

Из разложения числа 168 добавим множители 2, 2, 2:

2 * 2 * 2 * 3 * 7 * 11

Из разложения числа 60 добавим множитель 5:

2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 7 * 11

Полученное произведение и есть наименьшее общее кратное чисел 168, 231 и 60:

2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 7 * 11 = 9240

Ответ: нок чисел 168, 231 и 60 равен 9240:

НОК(231, 168, 60) = 9240

www.sbp-program.ru

Наименьшее общее кратное двух, трех и более чисел

Данный калькулятор предназначен для нахождения наименьшего общего кратного двух, трех и более чисел онлайн.Кратное числа n – это число, которое делится на данное число n без остатка. Число может иметь бесконечное число кратных.Несколько чисел могут иметь одинаковые кратные, которые будут называться общими кратными чисел.

Среди общих кратных выделяют наименьшее из них. Наименьшее общее кратное (сокращенно НОК) двух, трех и более чисел – наименьшее число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел. Нахождение наименьшего общего кратного полезно, например, при сложении и вычитании дробей, когда необходимо найти общий знаменатель дробей.

Для тех пользователей, кого интересует вопрос, как находить наименьшее общее кратное двух, трех и более чисел самостоятельно, представим последовательность решения данной задачи двумя способами. Первый способ хорошо применим для небольших чисел. Он заключается в выписывании кратных для всех чисел до тех пор, пока не найдется одинаковое, наименьшее из них. Второй способ сложнее и состоит из нескольких этапов, но при этом он применим для больших чисел. Во-первых, необходимо разложить числа на простые множители. Во-вторых, составляется произведение из всех найденных простых множителей. В-третьих, необходимо исключить общие множители, которые присутствуют в разложении чисел. В-четвертых, перемножив оставшиеся простые множители, получаем наименьшее общее кратное.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, проще всего использовать данный калькулятор, так как самостоятельные расчеты займут слишком много времени и усилий, особенно это касается большого количества больших чисел. Просто введите числа в соответствующие ячейки калькулятора и нажмите кнопку «Вычислить».

Выберете количество чисел 2345678910

Введите числа:

НОК  
Вам помог этот калькулятор? Предложения и пожелания пишите на [email protected]

Поделитесь этим калькулятором на форуме или в сети!

Это помогает делать новые калькуляторы.

НЕТ

Смотрите также

allcalc.ru

Как найти наименьшее общее кратное (НОК)

Рассмотрим три способа нахождения наименьшего общего кратного.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём разложения данных чисел на простые множители.

Допустим, нам требуется найти НОК чисел: 99, 30 и 28. Для этого разложим каждое из этих чисел на простые множители:

Чтобы искомое число делилось на 99, на 30 и на 28, необходимо и достаточно, чтобы в него входили все простые множители этих делителей. Для этого нам необходимо взять все простые множители этих чисел в наибольшей встречающейся степени и перемножить их между собой:

22 · 32 · 5 · 7 · 11 = 13 860

Таким образом, НОК (99, 30, 28) = 13 860. Никакое другое число меньше 13 860 не делится нацело на 99, на 30 и на 28.

Чтобы найти наименьшее общее кратное данных чисел, нужно разложить их на простые множители, затем взять каждый простой множитель с наибольшим показателем степени, с каким он встречается, и перемножить эти множители между собой.

Так как взаимно простые числа не имеют общих простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, три числа: 20, 49 и 33 – взаимно простые. Поэтому

НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32 340.

Таким же образом надо поступать, когда отыскивается наименьшее общее кратное различных простых чисел. Например, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.

Нахождение путём подбора

Второй способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём подбора.

Пример 1. Когда наибольшее из данных чисел делится нацело на другие данные числа, то НОК этих чисел равно большему из них. Например, дано четыре числа: 60, 30, 10 и 6. Каждое из них делится нацело на 60, следовательно:

НОК (60, 30, 10, 6) = 60

В остальных случаях, чтобы найти наименьшее общее кратное используется следующий порядок действий:

  1. Определяем наибольшее число из данных чисел.
  2. Далее находим числа, кратные наибольшему числу, умножая его на натуральные числа в порядке их возрастания и проверяя делятся ли на полученное произведение остальные данные числа.

Пример 2. Дано три числа 24, 3 и 18. Определяем самое большое из них – это число 24. Далее находим числа кратные 24, проверяя делится ли каждое из них на 18 и на 3:

24 · 1 = 24 – делится на 3, но не делится на 18.

24 · 2 = 48 – делится на 3, но не делится на 18.

24 · 3 = 72 – делится на 3 и на 18.

Таким образом, НОК (24, 3, 18) = 72.

Нахождение путём последовательного нахождения НОК

Третий способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём последовательного нахождения НОК.

НОК двух данных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их наибольший общий делитель.

Пример 1. Найдём НОК двух данных чисел: 12 и 8. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (12, 8) = 4. Перемножаем данные числа:

12 · 8 = 96.

Делим произведение на их НОД:

96 : 4 = 24.

Таким образом, НОК (12, 8) = 24.

Чтобы найти НОК трёх и более чисел используется следующий порядок действий:

  1. Сначала находят НОК каких-нибудь двух из данных чисел.
  2. Потом, НОК найденного наименьшего общего кратного и третьего данного числа.
  3. Затем, НОК полученного наименьшего общего кратного и четвёртого числа и т. д.
  4. Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.

Пример 2. Найдём НОК трёх данных чисел: 12, 8 и 9. НОК чисел 12 и 8 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 24). Осталось найти наименьшее общее кратное числа 24 и третьего данного числа – 9. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (24, 9) = 3. Перемножаем НОК с числом 9:

24 · 9 = 216.

Делим произведение на их НОД:

216 : 3 = 72.

Таким образом, НОК (12, 8, 9) = 72.

naobumium.info

НОК. Наименьшее общее кратное чисел.

  •  Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел. Пример. НОК(24, 42)=168. Это самое маленькое число, которое делится и на 24 и на 42.
  •  Для нахождения НОК нескольких данных натуральных чисел надо: 1) разложить каждое из данных чисел на простые множители; 2) выписать разложение большего из чисел и умножить его на недостающие множители из разложений других чисел.
  •  Наименьшее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

Пример 1. Найти НОК(35; 40).

Разложим числа 35 и 40 на простые множители.

35=5∙7,   40=2∙2∙2∙5 или 40=23∙5

Берем разложение большего числа 40 и дополняем его недостающими         множителями.  НОК(35; 40)=23∙5∙7=40∙7=280.

Ответ: НОК(35; 40)=280.

 

Пример 2. Найти НОК(45; 54).

Раскладываем числа 45 и 54 на простые множители.

45=32∙5,  54=2∙33.

Берем разложение числа 54 и умножаем на недостающие множители из разложения числа 45, т. е. на число 5.

НОК(45; 54)=2∙33∙5=54∙5=270.

Ответ: НОК(45; 54)=270.

 

Пример 3. Найти НОК(75; 120; 150).

Разложим числа 75, 120 и 150 на простые множители.

75=3∙52,    120=23∙3∙5,  150=2∙3∙52

Возьмем разложение большего числа 150 и дополним его двумя «двойками», так как в разложении числа 120 имеется три «двойки», а в разложении числа 150 – только одна.

НОК(75; 120; 150)=2∙3∙52∙2∙2=150∙4=600.

Ответ: НОК(75; 120; 150)=600.

Вывод: при нахождении НОК выписывают произведение всех простых (различных) множителей, имеющихся в разложениях этих чисел, причем, каждый из множителей берется с наибольшим из имеющихся показателей степеней.

 

Запись имеет метки: НОК

www.mathematics-repetition.com

НОД и НОК трех и более чисел

НОД (Факторизованный вид)
Наибольший общий делитель
НОК (Факторизованный вид)
Наименьшее общее кратное
НОД (Числовое значение)
Наибольший общий делитель
НОК (Числовое значение)
Наименьшее общее кратное

Что такое НОК?

НОК - наименьшее общее кратное. Такое число, на которое без остатка будет делится все заданные числа.

Например,  если заданные числа 2, 3, 5, то НОК=2*3*5=30

А если заданные числа  2,4,8, то НОК =8

что такое НОД?

НОД - наибольший общий делитель. Такое число, которым  можно разделить каждое из заданных чисел, без остатка.

Логично что  если заданные числа будут простыми, то НОД равен единице.

А если  заданны числа 2, 4, 8 то НОД равен 2.

НОД можно рассчитать по методу Евклида.

Расписывать его в общем виде не будем, а просто покажем решение на примере.

Заданы два числа 126 и 44. Найти НОД.

1. Делим 126 на 44 и находим остаток от деления  126=44*2+38. Остаток 38

2.Делим 44 на 38 и находим остаток. Он равен 6

3. Делим 38 на 6 и определим остаток. Остаток равен 2

4. Делим 6 на 2 и видим что он делится нацело, то есть с нулевым остатком.

Смотрим какое же было предыдущий остаток (на 3 вычислении). Видим что он равен 2

НОД этих двух чисел равен 2.

Альтернативный путь. Второй вариант который мы можем вам предложить  более нагляден и понятен , и позволит визуально увидеть чем отличается  НОК от НОД и как они высчитываются.

Для этого нам надо каждое число преобразовать в произведение сомножителей. Как это сделано в материале Простые множители. Теория чисел

Тогда если нам даны два числа вида

и

То НОД высчитывается как 

где min - минимальное значение  из всех значений степеней числа pn

а НОК  как 

где max - максимальное значение  из всех значений степеней числа pn

Смотря на вышеприведенные формулы, можно легко доказать что НОД двух и более чисел будет равен единице, тогда когда среди хотя бы одной пары заданных значений, окажутся взаимно простые  числа.

Поэтому легко ответить на вопрос чему равен НОД вот таких чисел  3,  25412, 3251, 7841, 25654, 7  ничего не вычисляя.

числа 3 и 7 взаимно простые, а следовательно НОД=1

Рассмотрим пример.

Даны три числа 24654, 25473 и 954

Каждое число  раскладывается в следующие множители

Или, если мы запишем в альтернативном виде

 

 

 

 

Теперь легко высчитать НОД по формуле

 

 

 

 

То есть НОД этих трех чисел равен трем

 

Ну а НОК можем вычислить аналогично, и он равен

 

 

Наш бот, поможет Вам вычислить НОД и НОК любых целых чисел, двух, трех или десяти.

 

Удобство нашего бота не только в легкости ввода, но и  в выведении результата.

 

Результат будет в двух видах, в виде  факторизации и в виде обычного численного решения.

 

Факторизация нам поможет увидеть точный результат, в случае если числа будут очень большие.

 

Ограничение только одно, кажое число не должно быть длиннее 15 символов

 

Удачных расчетов!

 

  • Нормальное интегральное распределение >>

www.abakbot.ru

НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ, алгоритм как найти НОК

Наименьшее общее кратное чисел – это наименьшее число, которое делится на все заданные числа.

Алгоритм поиска НОК

Вычисление НОК похоже на поиск НОД. Чтобы найти наименьшее общее кратное, нужно использовать следующий алгоритм:

  1. Разложить все числа на простые множители, используя признаки делимости чисел.
  2. Найти совпадающие множители во всех числах и выписать их.
  3. Выписать все несовпадающие множители.
  4. Перемножить все выписанные множители.

Если среди множителей чисел не были найдены одинаковые, НОК числа находится перемножением этих чисел.

Примеры поиска наименьшего общего кратного

Рассмотрим, как найти НОК с помощью алгоритма на нескольких примерах.

Пример 1:

Найдите наименьшее общее кратное чисел 420 и 990.

Решение:

Разложим оба числа на простые множители:

Получили, что:

420 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7

990 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11

Выпишем все совпадающие множители:

Выпишем все несовпадающие множители:

2, 7 – из первого числа

3, 11 – из второго числа

Перемножим полученные множители:

2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 3 ⋅ 11 = 13860

Ответ: 13860

Пример 2

Найдите наименьшее общее кратное чисел 96 и 378.

Решение:

Разложим оба числа на простые множители:

Получили, что:

96 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3

378 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7

Выпишем все совпадающие множители:

Выпишем все несовпадающие множители:

2, 2, 2, 2 – из первого числа

3, 3, 7 – из второго числа

Перемножим полученные множители:

НОК = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 = 6048

Ответ: 6048

Пример 3:

Найдите наименьшее общее кратное чисел 330 и 343.

Решение:

Разложим оба числа на простые множители:

Получили, что:

330 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11

343 = 7 ⋅ 7 ⋅ 7

Совпадающих множителей у этих 2 чисел нет, поэтому для получения НОК будет достаточно перемножить исходные числа:

НОК = 330 ⋅ 343 = 113190

Ответ: 113190

worksbase.ru

Найти наименьшее общее кратное (НОК)

Общее кратное для двух целых чисел - это такое целое число, которое делится нацело без остатка на оба заданных числа.

Наименьшее общее кратное для двух целых чисел - это наименьшее из всех целых чисел, которое делится нацело и без остатка на оба заданных числа.

Способ 1. Найти НОК можно, по очереди, для каждого из заданных чисел, выписывая в порядке возрастания все числа, которые получаются путем их умножения на 1, 2, 3, 4 и так далее.

Пример для чисел 6 и 9. Умножаем число 6, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5. Получаем: 6, 12, 18, 24, 30 Умножаем число 9, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5. Получаем: 9, 18, 27, 36, 45 Как видно, НОК для чисел 6 и 9 будет равно 18.

Данный способ удобен, когда оба числа небольшие и их несложно умножать на последовательность целых чисел. Однако, бывают случаи, когда нужно найти НОК для двузначных или трехзначных чисел, а также, когда исходных чисел три или даже больше.

Способ 2. Найти НОК можно, разложив исходные числа на простые множители. После разложения необходимо вычеркнуть из получившихся рядов простых множителей одинаковые числа. Оставшиеся числа первого числа будут множителем для второго, а оставшиеся числа второго - множителем для первого.

Пример для числе 75 и 60. Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители: 75 = 3 * 5 * 5, а 60 = 2 * 2 * 3 * 5. Как видно, множители 3 и 5 встречаются в обоих строках. Мысленно их "зачеркиваем". Выпишем оставшиеся множители, входящие в разложение каждого из этих чисел. При разложении числа 75 у нас осталось число 5, а при разложении числа 60 - остались 2 * 2 Значит, чтобы определить НОК для чисел 75 и 60, нам нужно оставшиеся числа от разложения 75 (это 5) умножить на 60, а числа, оставшиеся от разложения числа 60 (это 2 * 2 ) умножить на 75. То есть, для простоты понимания, мы говорим, что умножаем "накрест". 75 * 2 * 2 = 300 60 * 5 = 300 Таким образом мы и нашли НОК для чисел 60 и 75. Это - число 300.

Пример. Определить НОК для чисел 12, 16, 24 В данном случае, наши действия будут несколько сложнее. Но, сначала, как всегда, разложим все числа на простые множители 12 = 2 * 2 * 3 16 = 2 * 2 * 2 * 2 24 = 2 * 2 * 2 * 3 Чтобы правильно определить НОК, выбираем наименьшее из всех чисел (это число 12) и последовательно проходим по его множителям, вычеркивая их, если хотя бы в одном из других рядов чисел встретился такой же, еще не зачеркнутый множитель.

 Шаг 1 . Мы видим, что 2 * 2 встречаются во всех рядах чисел. Зачеркиваем их. 12 = 2 * 2 * 3 16 = 2 * 2 * 2 * 2 24 = 2 * 2 * 2 * 3

Шаг 2. В простых множителях числа 12 осталось только число 3. Но оно присутствует в простых множителях числа 24. Вычеркиваем число 3 из обоих рядов, при этом для числа 16 никаких действий не предполагается. 12 = 2 * 2 * 3 16 = 2 * 2 * 2 * 2 24 = 2 * 2 * 2 * 3

Как видим, при разложении числа 12 мы "вычеркнули" все числа. Значит нахождение НОК завершено. Осталось только вычислить его значение. Для числа 12 берем оставшиеся множители у числа 16 (ближайшего по возрастанию) 12 * 2 * 2 = 48 Это и есть НОК

Как видим, в данном случае, нахождение НОК было несколько сложнее, но когда нужно его найти для трех и более чисел, данный способ позволяет сделать это быстрее. Впрочем, оба способа нахождения НОК являются правильными.

 Дроби, задачи на нахождение частей от целого | Описание курса | Привести дробь к наименьшему общему знаменателю 

   

profmeter.com.ua